——记北京大学数学科学学院教授丁帆

　　本刊记者  李 刚
　　

　　对很多人来说数学是枯燥无味、抽象难懂的。但在许多数学家看来，整个数学是很多奇妙观念的编织物。而在现代数学领域，拓扑学经常被形象地称为“橡皮几何学”，它主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。随着拓扑学的概念和方法渗透到其他数学分支，并应用到物理学、化学、生物学、计算机理论和经济学领域，它的重要地位也愈来愈凸显，学术界更是掀起了拓扑学研究热潮。北京大学数学科学学院教授丁帆便是拓扑学的求索者。
　　

开启数学之旅

　　上世纪70年代后期，徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》一经发表，数学家陈景润的事迹便影响和带动了一代青年人走上数学研究的道路。作为标准的70后，丁帆小时候就对数学表现出不一样的天赋。他还记得，父亲发现他在数学上的优势后，有意在数学方面培养他。“我父亲经常让我超前学习数学。在小学时就让我自学初中的数学，初中的时候，父亲又买来数学课外辅导书让我自学。读初三时还参加市数学竞赛，获得一等奖。”
　　在父亲用心的培养下，15岁的丁帆考入浙江大学少年班，直接搭上了开往大学的直通车。在少年班学习一年后，丁帆转到应用数学系。他告诉记者，因为读大学的时候年纪比较小，转入应用数学系后，和班上的同学玩不到一块去。于是，他就一心埋头学习数学课程，在数学世界里寻找乐趣。而这样的付出，为丁帆换来了优异的专业成绩。丁帆说，在大学二年级时，他上了周友成老师开的点集拓扑课程后，发现拓扑有一定的难度，有挑战性。由于成绩优异，在丁帆被保送研究生后，便选择拓扑学为自己的研究方向。“在研究生阶段，我也一直‘潜’在拓扑学世界，探求更多的拓扑奥秘。在导师干丹岩教授的指导下，我学习了代数拓扑、微分拓扑、纤维丛、示性类、h-配边理论等课程，这为以后的研究打下了坚实的基础。”丁帆说。
　　“拓扑”是英文topology的音译，几何图形在连续变形下保持不变的性质，即“拓扑性质”，其最早反映在欧拉解决的七桥问题、欧拉的多面体公式中。拓扑学源远流长，在几何学的研究中，黎曼提出n维流形的概念；庞加莱创立了用剖分研究流形的方法，引进了许多不变量，并提出著名的庞加莱猜想......这些理论、概念都与拓扑学发展密切相关。丁帆说，在拓扑学不断发展中，分析的严密化出现许多拓扑概念，如开集、闭集、连通性等，同时，分析学中泛函理论又导致了抽象空间的观念，到19世纪末20世纪初，学术界才形成了组合拓扑和点集拓扑这两个研究方向。而在我国，直到1931年，师从哈佛大学数学大师莫尔斯的江泽涵为我们国家带来了拓扑学这个新学科，他也成为中国第一个拓扑学家。
　　丁帆告诉记者，随着抽象代数学的兴起以及微分流形研究的深入，在拓扑学中逐步形成了代数拓扑与微分拓扑这两个研究方向。20世纪中期，这两个研究方向得到迅猛发展。“Serre在同伦群计算上取得的突破、Thom的配边理论、Milnor发现七维怪球、Smale证明维数大于等于5的广义庞加莱猜想，都是那个时期的重要成果，他们也先后获得了数学界最高奖—菲尔兹奖。20世纪70年代后期至80年代初期，Thurston在三维流形研究中取得重大突破，此外，Freedman证明了四维广义庞加莱猜想，Donaldson利用规范理论在四维流形研究中取得重大突破。这些成果导致三维流形、四维流形的研究成为热点，形成低维拓扑这一研究方向。”丁帆说，低维拓扑研究四维及四维以下流形。最简单的三维流形就是我们所在的三维空间，三维空间再加上“时间”，就是四维流形。在导师干丹岩教授的指导下，丁帆阅读了四维流形方面的文献并在讨论班上报告，同时，他的博士学位论文“某些非紧四维流形上的光滑结构”也是关于四维流形的光滑结构方面的。这些为他拓扑学研究打下了深厚基础。
　　

迈向切触拓扑

　　1995年博士毕业后，丁帆进入北京大学数学科学学院从事博士后研究，并在博士后出站时留在北京大学数学科学学院工作。由于Donaldson、Taubes、Witten等人的工作，四维流形与辛拓扑联系越来越紧密。于是，丁帆便开始学习辛拓扑方面的一些知识。另外，由于Eliashberg的工作，三维切触流形的研究开始活跃。在北京大学姜伯驹院士、王诗?院士组织的拓扑讨论班上，丁帆学到了三维流形以及纽结方面的知识。2000年1月，丁帆到荷兰莱顿大学访问，和荷兰莱顿大学的Geiges教授合作，开始三维切触拓扑方面的研究。“切触几何的起源与辛几何类似，与力学、光学有关。偶数维有辛流形、辛几何、辛拓扑，奇数维有切触流形、切触几何、切触拓扑。切触拓扑研究切触流形的整体性质，对应用领域如光学、热力学、力学及控制理论也很重要。”丁帆介绍道。
　　2002年2月回国后，丁帆一边教学，一边继续切触拓扑方面的研究。在国家自然科学基金的资助下，丁帆经常利用寒暑假去德国科隆大学访问，与Geiges教授继续合作研究。他们研究了圆周上环面丛的某些胎紧切触结构的辛可填充性与三维切触流形的手术描述，并给出了三维流形手术描述中Kirby移动在三维切触流形的手术描述中的类似；给出了带标准切触结构的三维球面中一些勒让德链环的勒让德同痕分类及带标准切触结构的单位圆周的1-射流空间中的一些勒让德纽结的勒让德同痕分类；确定了带标准切触结构的单位圆周×单位球面的切触自同胚的切触同痕类群；证明了8k-1维球面上有怪异但同伦平凡的切触结构；给出了偶数维闭、连通、定向流形上主单位圆周丛有单位圆周作用下不变的切触结构的一个充分必要条件。
　　当问到丁帆他最满意的成果时，他说，应该是2004年发表的与Geiges教授合作的论文“A Legendrian surgery presentation of contact 3-manifolds”。“在论文中，我们模仿了任一闭、可定向、连通三维流形可从三维球面沿其中一个链环作手术得到这一基本结果，证明了任一闭、连通三维切触流形可从带标准切触结构的三维球面沿其中一个勒让德链环作切触手术得到。没想到这篇文章被引用很多次，直到现在还有文章引用。”
　　此外，丁帆还与River Chiang、Otto van Koert合作，研究了切触流形的开书分解；与李友林、张强合作，研究了某些带边三维流形上胎紧切触结构的分类；与李友林、陈飞飞合作，给出了带标准切触结构的单位圆周×单位球面中勒让德环面结的勒让德同痕分类；与Geiges、张光剑合作，给出了某些亚临界Stein可填充五维切触流形的微分同胚分类等。“军团作战方可走得更远。孤军奋战，要得到好的成果则会更加困难。所以，在研究中，我更注重以团队形式前进。”丁帆说道。
　　切触拓扑是当前研究的一个热点，与其他领域，如三维流形、纽结理论、辛拓扑、动力系统等有很多联系。丁帆在切触拓扑领域展开了很多研究。“国内从事切触拓扑研究的人还很少，研究水平和国际上相比还有很大差距。”丁帆补充说。对于自己一直坚守在数学研究领域，他则表示，上学时数学能拿到好成绩，是激励他不断钻研数学的一大原因；而现在，当自己的研究成果以论文的形式不断出现在高水平杂志上，便鼓励着他继续向更高峰探索。他也相信，只要坚守初心，无畏前进，在数学研究的道路上，一定能披荆斩棘，开创一片新天地。
　　
　　
　　
专家简介：
　　
　　丁帆，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。分别于1989年和1995年在浙江大学获得学士学位及博士学位。2000年1月至2002年2月到荷兰莱顿大学进行访问，2010年9月至2011年8月到德国科隆大学进行访问。长期从事切触拓扑、低维拓扑方面的研究。近年来，主持或参加了国家自然科学基金青年科学基金项目、重点项目、面上项目等；发表论文20余篇。